教师应当帮助学生,但不能太多,也不能太少,这样才能使学生有一个合理的工作量

在还没有看清主要的联系或拟订方案前就投身到具体的细节中去通常是无用的。

你能重新叙述这道题么?

建议必须简单和自然,因为不然的话,它们就不可能不露痕迹了。

我应该从哪里开始?我能做什么?这样做我能得到什么呢?

Simplex sigillum veri(简单性是真理的标志)

聪明的学生和聪明的读者不会满足于只验证推理的各步骤都是正确的,他们也想知道各个不同步骤的动机和目标。

你能以不同的方式推导这个结果吗?你能一眼就看出来它吗?

如果这个题目并不难,那么这种创造就不很重大,但不管怎样它总还是一种创造。

如果我们对纤毛一道题目的基本方法如普遍化、特殊化、类比、分解和重组。

如果一个学生从来没有机会解答一道由他自己创造的题目,他的数学经验就是不完整的。

直观的洞察力可以远远领先于形式上的证明。

直觉领先了,但形式推理能超越它吧?你又能否证明它是正确吗?

一个条件如果包括一些过多的部分,就称它为多余的。

一个术语的定义是指用苦命些被认为已熟知的术语来对它的意义进行表述。

数学定义产生了数学上的意义。

在心里用定义的事实来代替被定义的术语。

笛卡尔:“年轻时,每当我听到一些精妙的发明,我就尝试自己来发明它们,甚至是在没有读过那个作者的文章的情况下。在这样的过程中,我逐渐发现我自己正在使用某些法则。”

我们必须搜索一些联系密切的题目;观察未知量,或者寻找一道以前解过的题目,这道题目通过普遍化、特殊化或类比和要解的题目相联系。

把一个生动的猜想当作已证实的真理则是愚蠢的。

越是宏大的计划,越有机会获得成功(创造者悖论)

莱布尼茨:“没有什么比看到创造的源泉更重要了,在我看来,它比创造本身更有意思。”

Respice finmen,意思是,盯住目标。记住你的目的,别忘了你的目标。思考你想的东西。不要忽视你需要的。记住你要寻求的。观察未知量。观察结论。

文字的使用有助于思维。

符号的使用对于运用推理看起来是不可缺少的。

数学符号的使用和文字的使用是相似的。数学符号就好像是一种语言,“une langue bien faite”(一种构造得很好的语言),它简明而准确,它的规则与通常的语法不同,其中不允许有任何例外。

一个好的标记应该便于记忆、便于辨认。

词语具有双重含义。

在分析中,我们从要求的东西开始,先假定它成立,并从中得出某些结论,从这些结论中又得出另一些结论,直到我们得到可以作为综合的起点的那个点。因为在分析中,我们假设要求做的事情已经做好了(要寻找的已经找到了,要证明的已经证明了)。我们研究要求的结论可以根据什么前提得出,然后我们再研究那个前提又是根据什么前提得出的,等等,这样从前提过渡到前提,直到最后我们遇到了某些书籍的或者公认为为正确的东西。这一过程我们称之为分析,或者叫倒过来解,也可以叫回归论证。 但是在结合中,要把这一 过程反过来,从我们在分析中最后到达的点开始,从已知的或公认正确的东西开始。我们由它推导出在分析中先于它的东西,并继续推导沿着我们的步骤回溯上去,我们最终成功地到达了我们要求的东西。这一过程我们称之为综合,或者构造性求解,也可以叫作前进论证。 现在分析可以分为两种:一种是证明题的分析,旨在建立正确的定理;另一种是求解题的分析,旨在求得未知量。

第一条格式的规则是要有话可讲。第二条格式的规则是,当你碰巧有两件事要讲时,你要控制好自己,先讲第一件,再讲第二件,不要同时讲两件事。

他应该注意寻找正确的典范来模仿;他应该觉察到 一个能激励人心的教师;他应该和一位能干的朋友竞赛。然后,可能最重要的是,他不仅应该阅读通用的教材,还应阅读优秀作者的作品,直到他找到一个作者,其方式是他天生倾向于模仿的。他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西。他应该解题,选择适合他思路的那些题目,思考他们的解答,并创造新的题目。他应该通过这些方法及所有其他方法来努力作出他的第一个重大发现:他应该发现自己的好恶、趣味以及自己的思路。

为什么我们应该学习或者讲授证明过程?什么更为可取:根本不去证明,或者每件事都证明,还是证明其中一些?而如果要证明其中一些的话,该证明哪些?