用乘法实现除法

为什么我们需要用乘法来实现除法？首先在计算机运算中，乘法的效率要来得高于除法。其次，除法的实现在电路中非常不容易，而用乘法能实现在一定精度下的除法。

证明

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假设 $Q = \frac{N}{D}$ ，则：

$\begin{aligned*} Z &= 1 - D \\ Q &= \frac{N}{D} = \frac{N(1+Z)}{D(1+Z)} \\ &= \frac{N(1+Z)}{(1-Z)(1+Z)} \\ &= \frac{N(1+Z)}{1-Z^2} \end{aligned*}$

用 $K = 1+Z^2$ 重复这个过程

$\begin{aligned*} Q &= \frac{N(1+Z)}{1-Z^2} \cdot \frac{1+Z^2}{1+Z^2} \\ &= \frac{N(1+Z)(1+Z^2)}{1-Z^4} \end{aligned*}$

重复N次

$\begin{aligned*} Q &= \frac{N}{D} = \frac{N(1+Z)(1+Z^2)(1+Z^3)\dots (1+Z^{2n-1})}{1-Z^{2n-1}} \\ \because Z < 1 &\Rightarrow \lim_{N\to 0} Z^{2n-1} = 0 \\ \therefore Q &= N(1+Z)(1+Z^2)(1+Z^3)\dots (1+Z^{2n-1}) \end{aligned*}$

对于8位精度，只需要 $n = 3$ 即可，而 $n = 5$ 则有32位精度。

完

就是这样。