用乘法实现除法

为什么我们需要用乘法来实现除法？首先在计算机运算中，乘法的效率要来得高于除法。其次，除法的实现在电路中非常不容易，而用乘法能实现在一定精度下的除法。

证明 Link to heading

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假设 $$ Q = \frac{N}{D} $$，则：

$$ \begin{align*} Z &= 1 - D \ Q &= \frac{N}{D} = \frac{N(1+Z)}{D(1+Z)} \ &= \frac{N(1+Z)}{(1-Z)(1+Z)} \ &= \frac{N(1+Z)}{1-Z^2} \end{align*} $$

用$$ K = 1+Z^2 $$重复这个过程

$$ \begin{align*} Q &= \frac{N(1+Z)}{1-Z^2} \cdot \frac{1+Z^2}{1+Z^2} \ &= \frac{N(1+Z)(1+Z^2)}{1-Z^4} \ \end{align*} $$

重复N次

$$ \begin{align*} & Q = \frac{N}{D} = \frac{N(1+Z)(1+Z^2)(1+Z^3)\dots (1+Z^{2n-1})}{1-Z^{2n-1}} \ & \because Z < 1 \Rightarrow \lim_{N\to 0}Z^{2n-1}=0 \ & \therefore Q = N(1+Z)(1+Z^2)(1+Z^3)\dots (1+Z^{2n-1}) \end{align*} $$

对于8位精度，只需要$$ n = 3 $$即可，而$$ n = 5 $$则有32位精度。

完 Link to heading

就是这样。